\begin{theorem}[][Courant-Hilbert定理]
    \textbf{Courant-Hilbert theorem}\quad 如果一维分立谱Hamilton量的V(x)
    在任意态中平均值有下界，即任给一个几乎处处（除可数个孤立点外）单值、连续、可微、平
    方可积函数$\psi(x)$存在一个不依赖于$\psi(x)$的常数$c$，使得
    \begin{equation}
        \langle V \rangle =\int V(x)\psi^*(x)\psi(x)dx\geq c
    \end{equation}
    则此Hamilton量的本征函数族是完备的。
\end{theorem}

\begin{note}
    \par 在量子力学中，本征函数族的完备性意味着任何平方可积的波函数都可以通过这些本征函数进行线性组合表示。
    如果哈密顿量的本征函数不完备，则可能存在某些物理态无法用这些本征状态表示。

    \par 如果一个分立谱尼米算符H有下限而无上限，则它的
    本征函数族就$\mathcal{L} _2 $态空间$\mathcal{H}$而言是完备的。

    \par 具体证明需要理解泛函分析及希尔伯特空间的相关知识.
\end{note}

\begin{theorem}[][束缚态存在定理]
    \textbf{The existence theorem of bound states}\quad 体系至少存在一个束缚态
    若势函数$V(x)$满足以下条件:
    \begin{enumerate}
        \item $V(\pm \infty)=0$
        \item $V(x)<0$
        \item $\forall \psi(x), \exists c, \int V\psi\psi^*dx\ge c$
    \end{enumerate}
\end{theorem}


\begin{note}
    存在束缚态说明能谱一定是分立的.
\end{note}

\begin{theorem}[][无简并定理]
    \textbf{No degeneracy theorem}\quad 若一维势$V(x)$在有限$x$处无奇点，
    则对应的全部束缚定态都是不简并的，也就是说，这类一维问题的分立能级均无简并
\end{theorem}

\begin{note}
    \begin{itemize}
        \item 注意,无限深势阱不满足以上条件, 因为其显然存在奇点
        \item 一维束缚态波函数总可以取成实函数
        \item 一维束缚定态的流密度为零
        \item 定理结论对正能量非束缚态不成立
    \end{itemize}
\end{note}

\begin{theorem}[][零点定理]
    \textbf{zero point theorem}\quad 将一维问题的分立谱波函数$\psi(x)$按本征值递增顺序编号，
    则属于第$n+1$个能级$E_n$的本征函数$\psi_n(x)$在其定义域内有限$x$值处共有$n$个零点，
    其中，基态$E_0$的$\psi_0(x)$无零点
\end{theorem}

\begin{note}
    在二维、三维甚至任意维情况下，分立谱$(E<0)$基态都无零点

    任意维问题分立谱基态都是不简并的
\end{note}